Silindirik koordinatlarda diverjans

Bir Cevap Yazın

Kartezyen koordinatlarda vektör alanının diverjans aşağıdaki gibi tanımlanıyor.

\mathbf F = (F_x, F_y, F_z) \newline\newline \nabla\cdot \mathbf F = \left(\frac {\partial} {\partial x},\frac {\partial} {\partial y},\frac {\partial} {\partial z}\right) \cdot\left(F_x, F_y, F_z\right)= \frac {\partial F_x} {\partial x}+\frac {\partial F_y} {\partial y}+\frac {\partial F_z} {\partial z}

Kartezyen koordinatlar cinsinden silindirik koordinat birim vektörleri tanımlanabilir

Silindirik birim vektörler

Silindirik koordinatlar r, \theta,z cinsinden tanımları:

x = r.cos(\theta)\newline y = r.sin(\theta)\newline z = z

e_z, \mathbf k ile aynı: e_z = (0, 0, 1)

e_r = \frac {\left(x, y, 0\right)} {\sqrt{x^2+y^2}} = \frac {\left(r.cos\left(\theta\right), r.cos\left(\theta\right), 0\right)} {r} = (cos(\theta), sin(\theta), 0)

e_\theta ise bu iki vektörün vektörel çarpımına eşittir.

e_\theta = e_z \times e_r = \frac {(-y, x, 0)} {\sqrt{x^2+y^2}} =(-sin(\theta), cos(\theta), 0)

Şimdi vektör alanını x, y ve z yerine r, \theta,z şeklinde yazabiliriz.

\mathbf F = (F_r, F_\theta, F_z) = F_re_r + F_\theta e_\theta + F_ze_z \newline\newline \mathbf F = F_r(cos\theta, sin\theta, 0) + F_\theta(-sin\theta, cos\theta, 0) + F_z(0, 0, 1) \newline\newline \mathbf F = (F_rcos\theta - F_\theta sin \theta, F_rsin\theta + F_\theta cos \theta, F_z)

Şimdi del operatörünü r, \theta,z cinsinden yazmak için zincir kuralını kullanacağız.

\frac {\partial} {\partial r} = \frac {\partial} {\partial x} \frac {\partial x} {\partial r} + \frac {\partial} {\partial y} \frac {\partial y} {\partial r} \newline\newline \frac {\partial} {\partial \theta} = \frac {\partial} {\partial x} \frac {\partial x} {\partial \theta} + \frac {\partial} {\partial y} \frac {\partial y} {\partial \theta}

Aşağıdaki türevleri biliyoruz.

\frac {\partial x} {\partial r} = cos\theta\newline\newline \frac {\partial y} {\partial r} = sin\theta\newline\newline \frac {\partial x} {\partial \theta} = -r.sin\theta\newline\newline \frac {\partial y} {\partial \theta} = r.cos\theta\newline\newline

Bunları yerlerine koyup gerekli düzenlemeleri yaparsak del operatörü aşağıdaki gibi olur.

\nabla = \left( \frac 1 r \left( r.cos\theta\frac {\partial} {\partial r} -sin\theta\frac {\partial x} {\partial \theta}\right), \frac 1 r \left( r.sin\theta\frac {\partial} {\partial r} +cos\theta\frac {\partial x} {\partial \theta}\right), \frac {\partial} {\partial z}\right)

O zaman diverjans formülü şu şekilde yazılabilir.

\nabla\cdot F = \left( \frac 1 r \left( r.cos\theta\frac {\partial} {\partial r} -sin\theta\frac {\partial x} {\partial \theta}\right), \frac 1 r \left( r.sin\theta\frac {\partial} {\partial r} +cos\theta\frac {\partial x} {\partial \theta}\right), \frac {\partial} {\partial z}\right)\cdot (F_rcos\theta - F_\theta sin \theta, F_rsin\theta + F_\theta cos \theta, 0)

Açılınca ise

\nabla\cdot F = \frac 1 r \frac {\partial} {\partial r} F_r r.cos^2\theta \newline\newline - \frac 1 r \frac {\partial} {\partial r}F_\theta cos\theta sin\theta \newline\newline - \frac 1 r \frac {\partial} {\partial \theta} F_r cos\theta sin\theta \newline\newline + \frac 1 r \frac {\partial} {\partial \theta} F_\theta sin^2\theta \newline\newline + \frac 1 r \frac {\partial} {\partial r} F_r r.sin^2\theta \newline\newline + \frac 1 r \frac {\partial} {\partial \theta} F_\theta cos\theta sin \theta \newline\newline + \frac 1 r \frac {\partial} {\partial \theta} F_r cos\theta sin\theta \newline\newline + \frac 1 r \frac {\partial} {\partial \theta} F_\theta cos^2\theta \newline\newline + \frac {\partial} {\partial z} F_z

Böylece sonuç aşağıdaki gibi çıkıyor:

\nabla\cdot F = \frac 1 r \frac {\partial (r.F_r)} {\partial r} + \frac 1 r \frac {\partial F_\theta} {\partial \theta} + \frac {\partial F_z} {\partial z}

Milyon, Milyar, Trilyon, Katrilyon

Bir Cevap Yazın

Aşağıdaki videoyu izleyene kadar trilyonun adı hakkında pek düşünmemiştim.

Eski sistemin daha mantıklı olduğu açıkça görülüyor :).

Sonuna doğru milliard denince biz de bilyon değil milyar dendiğini fark ettim. Ama buraya kadar uzun sisteme göre gitsek de nedense bundan sonra kısa sisteme dönülmüş. Vikipedi sayfası direk çeviri olduğundan buna bir açıklama getirilmemiş. (Uzun ve Kısa ölçekler sayfası Türkiye’nin kısa sistemi kullandığını söylüyor. Ama milyar için yine bir açıklama yok.) Videoda denildiği gibi Kıta Avrupasında  durum nasıl diye baktım.

Sayı İNGİLİZCE
(KISA SİSTEM)		 Türkçe İNGİLİZCE
(UZUN SİSTEM)		 Almanca İspanyolca Fransızca
1 one bir one ein un une
103 thousand bin thousand tausend mil mille
106 million milyon million million millón million
109 billion milyar milliard milliarde mil millones milliard
1012 trillion trilyon billion billion billón billion
1015 quadrillion katrilyon billiard billiarde mil billónes billiard

Araplar da kısa sistem kullanıyormuş ama isimlerin Arapçadan gelmediği kesin. TDK’ya göre milyar, trilyon, katrilyon Fransızca kökenli. (Arapça tabloda yok çünkü alfabe sorunu var :))

Milyarı kullanıp bilyonu atlamak daha sonra da kısa sistem kullanmak ilginç gerçekten. Belki de başta milyardan daha büyük sayıya ad koymaya gerek duyulmadı. Böyle bir ihtiyaç ortaya çıktığında ise Amerikan kısa sisteminin kullanılmasına karar verildi. Google’ın ngram viewer’ının Türkçe desteği olsaydı şöyle bir grafikle en azından kontrol edebilirdik. İngiltere 1974’te kısa sisteme geçmiş ve ngram bağlantısında görülebildiği gibi 1970’lerde billiard kullanımı trillion kullanımının altına düşüyor.

Büyük sayıların isimleri wikipedia bağlantıları:

Aylar Nasıl Belirlendi?

Bir Cevap Yazın

Ayların bazıları 31 bazıları 30 günden oluşuyor. Bir de Şubat var tabii ki normalde 28 artık yıllarda 29 çeken. Ayın (zaman birimi olan) Ayın (uydu olan) hareketi ile ilişkili olduğu Türkçe’de rahatça anlaşılabiliyor. Ay Dünya etrafında dönüşünü ortalama 29.5 günde tamamlıyor. Bu buçuklu sayı aylardaki gün değişimini bir nebze olsun açıklıyor. Daha fazlasını söylemek için ise biraz Wikipedia okumak gerekti. Okumaya devam et →

Güçlü hafıza için bilimsel sırlar

Bir Cevap Yazın

Scientific Secrets For a Powerful Memory serisini izledikten sonra aldığım bazı notlar.

İnsanlar, konum ve resim hatırlamakta çok iyiler. Evrim yavaş bir süreç olduğundan insanlar isimleri, sayılar gibi görece daha yakın zamanda gelişen kavramları iyi bir şekilde hatırlayamıyorlar. Bu yüzden hafızayı geliştirmek için sistemler geliştirilmiş.

Sayıları ezberlemek için kullanılabilecek sistemlerden biri Major System. Rakamları sessiz bir harfe dönüştürüp bunlara sesli harfler ekleyerek kelimeler oluşturması ve bu kelimelerden zihni resimler oluşturmasına dayanıyor. Örnek olarak pi’yi (3.1415927) hatırlamak için MeTeoR (314) TaiL (15) PiNK (927) kelimeleri kullanılabilir. Beynin kuyruğu pembe olan bir meteoru hatırlaması 3.1415927 gibi bir sayıyı hatırlamasından kolay olduğu söyleniyor. Sayı hatırlanmak istendiğinde sessiz harfler rakam karşılıklarına çevrilerek sayı tekrar oluşturuluyor.

Listeleri hatırlamak için ise anlatılan sistem Method of Loci. Sistem çok iyi bildiğiniz bir yerde (örneğin eviniz) belirlediğiniz konumlara listenin elemanlarını atamanız şeklinde çalışıyor. Örneğin elma, armut ve deterjandan oluşan alışveriş listenizi kapı önünde bir elma sepeti, mutfakta armut ve salonda deterjan olarak kodlayabilirsiniz. Hatırlamayı kolaylaştırmak için konumlardaki zihni resimleri olabildiğince çarpıcı, tuhaf oluşturmanız tavsiye ediliyor. Örneğin kapı önünde size elma öneren yaşlı bir kadın (Pamuk Prenses?) öylece duran bir elma sepetinden daha akılda kalıcı.

Hafıza kısa dönem ve uzun dönem olarak ikiye ayrılabilir. Kısa dönem hafıza geçici bir hafıza. Bu hafızanın insanlarda ortalama 7 (±2) yığın tutabiliyor. Buradaki yığın’dan (ing. chunk) kasıt herhangi bir birim. Bu birim bir harf, rakam olabileceği gibi kelime, sayı hatta kitap gibi daha karmaşık olabilir. Bir yığın olması için anlamlı olması yetiyor. Uzunluğu bir etki yapmıyor. M,E,B şeklinde harfler 3 yer tuttuğu gibi MEB,MİT,DPT üçlüsü de üç yığın olarak depolanıyor. Bu sayede M,E,B,M,İ,T,D,P,T gibi 9 harflik bir seriyi ezberlememiz biyolojik sınırımız nedeniyle mümkün değilken bu harfleri bildiğimiz kısaltmalara çevirerek ezberleyebiliyoruz.
Kısa dönem hafızada 4 8 15 16 23 42 108 gibi 7 sayıyı durmadan tekrarlayarak aklımızda tutabiliriz fakat araya başka bir şey girdiğinde sayıları unuturuz.[1] Bu sayıları unutmamak için kısa dönem hafızayı uzun dönem hafızaya çevirmemiz gerekiyor. (Bu örnek için Lost seyretmek işe yarayabilir :)) Bu işlem beynin hipokampus bölümünde gerçekleşiyor. Hipokampuse zarar geldiğinde kişi yeni hafıza oluşturma yetisini kaybediyor. Hipokampus aynı zamanda uzaysal hafıza ve yön bulmada rol oynuyor.

Beyin anladığı şeyleri daha kolay hatırlıyor. Konu hakkında ne kadar bilgi sahibi olursanız ve o konu üzerinde ne kadar çalışırsanız hatırlamanız o kadar kolay oluyor. Bu konuda yapılan bir deneyde üç gruba aynı kelime listesi verilmiş. Birinci gruba büyük harfle yazılan kelimeleri işaretlemesi, ikinci gruba kafiyeli olanları işaretlemesi, üçüncü gruba ise kelimeleri kullanarak cümle oluşturulması istenmiş. Birkaç gün sonra hatırladıkları kelimeleri yazmaları istenmiş. Sonuç olarak cümle grubundakiler diğer gruplara göre büyük bir farkla daha çok kelime hatırlayabilmişler. Kafiye grubu ikinci, büyük harf grubu da sonuncu olmuş.

…

Xfrun’ı hesap makinesi olarak kullanmak

Bir Cevap Yazın

KDE kullanırken basit hesapmaları launcher kullanarak yapmaya alışmıştım. Xfce’e geçince bu özellikten mahrum kaldım.Ama artık xfrun’da “Custom Actions” özelliğini kullanarak hesaplamaları yapabiliyorum 🙂

İlk önce tek satırlık bir bash script’i yazdım.


#!/bin/sh
awk "BEGIN{ print $* }" | xargs notify-send

Bu script awk kullanarak ifadeyi hesaplıyor ve sonucu notify-send ile bildirim olarak gösteriyor.

Bu bash dosyasını /path/to/script %s olarak custom actions olarak ekleyince işlem tamamlandı.

Ben = ön eki kullandım. Artık =4*5 yazıp enter’a bastığımda 20’yi bildirim olarak görüyorum.

Bağlantı

Why Fiction is good for you?

Studies show that when we read nonfiction, we read with our shields up. We are critical and skeptical. But when we are absorbed in a story, we drop our intellectual guard. We are moved emotionally, and this seems to make us rubbery and easy to shape.

Udim aylık bültenlerinden verileri çıkarma

Bir Cevap Yazın

Bitirme ödevimde kullanmak için Kandilli’den Van depremi ve sonrasında olan depremleri almak istedim. Fakat bu veriler kolaylıkla kullanılabilecek bir biçimde sunulmuyor. Bu yüzden AFAD‘ın verilerine baktım fakat orada da Van depreminin büyüklüğü 6.7 olarak duruyordu. Ben de Kandilli’nin pdf olarak yayınladığı aylık bültenlerden depremleri çıkarmayı denedim.
Okumaya devam et →